ハローワークの窓口の人は全員カウンセラーの資格（恐らく産業カウンセラー）の資格保持だとハロワーク職員がいっていましたが本当でしょうか？

それは違います。
カウンセラーの本格的な資格を持ってる人は仮に１０人いたら４～５名概ね半数程度です。
無資格の人も結構いますよ。企業等で人事経験があるとか公務員を定年或いは定年近くで辞めて行ってる人も中にはいます。
何なら相談員では無く総務課の人事担当にでも確認して下さい。

【補足から】
ハローワークの職員は嘱託雇用が殆どです。
資格の有無は募集時に書かれているかと思いますが実質的には不明です。コネ採用があるのかなと思ってしまいます。

世帯主が失業した場合、国民健康保険や国民年金の免除(もしくは一部負担)の可能性はありますか？
約4年勤めた会社を自己都合で退職します。
ただ、次の就職先も決まっておらずいわゆる「無職」の状態になってしまうので、収入の見込みもありません。

任意継続することが金銭的に難しいので、国民健康保険と国民年金に変更を考えている次第です。

近々、役所の窓口に免除の申請についての相談に行く予定でいます。
なお、国民年金に関しては、失業による特例もしくは若年者納付猶予の申請(30歳以下の為)をしようと考えています。

現在、弟(働いています)と実家を離れて一緒に部屋を借りて住んでおり、私が世帯主となっています(ちなみに未婚です)。

こういった場合、審査に弟の年収なども関係あるのでしょうか？それとも配偶者ではないので、関係ないのでしょうか？

＞任意継続することが金銭的に難しいので、国民健康保険と国民年金に変更を考えている次第です。

国民健康保険の保険料はチェックしましたか？一般的には家族全員の保険料（均等割分）が付きますので、任意継続のほうが安いと思います。
弟さんの会社の健康保険の被扶養にはなれないでしょうか？

入社してすぐに会社が倒産してしまいました…。
転職した会社が入って２週間もたたずに倒産してしまいました。
この場合、離職票は発行することは物理的に可能でしょうか？
通常、半年以上勤務しなければ離職票は発行されないとのことですが
なにか特別な措置・例などがあればあれば教えていただければ幸いです。
なにとぞよろしくお願いいたします。

それはまた不運でしたね。
その会社の経理の方はいらっしゃないれけですよね。

ちょっと厳しい感じがしますよ。

関連する情報